حل تمرین صفحه 48 ریاضی دوازدهم

حل تمرین 1 صفحه 48 ریاضی دوازدهم ### 1. محاسبه $\sin \alpha$ چون $\alpha$ زاویه‌ای حاده (در ربع اول) است، $\sin \alpha$ مثبت است. از اتحاد $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ استفاده می‌کنیم: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169}$$ $$\sin \alpha = \sqrt{\frac{144}{169}} = \mathbf{\frac{12}{13}}$$ *** ### الف) محاسبه $\cos 2\alpha$ از فرمول مضاعف $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$ استفاده می‌کنیم: $$\cos 2\alpha = 2 (\frac{5}{13})^2 - 1 = 2 (\frac{25}{169}) - 1 = \frac{50}{169} - 1$$ $$\cos 2\alpha = \frac{50 - 169}{169} = \mathbf{-\frac{119}{169}}$$ **توجه:** چون $\cos 2\alpha$ منفی است، $2\alpha$ باید در ربع دوم یا سوم باشد. *** ### ب) محاسبه $\sin 2\alpha$ از فرمول مضاعف $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ استفاده می‌کنیم: $$\sin 2\alpha = 2 (\frac{12}{13}) (\frac{5}{13})$$ $$\sin 2\alpha = 2 \frac{60}{169} = \mathbf{\frac{120}{169}}$$

حل تمرین 2 صفحه 48 ریاضی دوازدهم زاویه $22.5^\circ$ نصف زاویه $45^\circ$ است. از فرمول‌های کمان نصفه استفاده می‌کنیم. $$\frac{\alpha}{2} = 22.5^\circ \implies \alpha = 45^\circ$$ می‌دانیم $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. ### 1. محاسبه $\cos 22.5^\circ$ از فرمول $\cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}}$ استفاده می‌کنیم. چون $22.5^\circ$ در ربع اول است، $\cos 22.5^\circ$ مثبت است. $$\cos 22.5^\circ = \sqrt{\frac{1 + \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$ $$\cos 22.5^\circ = \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} = \mathbf{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$$ *** ### 2. محاسبه $\sin 22.5^\circ$ از فرمول $\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$ استفاده می‌کنیم. چون $22.5^\circ$ در ربع اول است، $\sin 22.5^\circ$ مثبت است. $$\sin 22.5^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$$ $$\sin 22.5^\circ = \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} = \mathbf{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}$$ *** **نتیجه:** $$\mathbf{\cos 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}}$$ $$\mathbf{\sin 22.5^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}}$$

حل تمرین 3 صفحه 48 ریاضی دوازدهم ### الف) $\sin \frac{\pi}{2} = \sin 3x$ $$\sin 3x = 1$$ تنها حالتی که $\sin \theta = 1$ است، وقتی $\theta$ برابر $\frac{\pi}{2}$ به اضافه مضارب زوج $\pi$ باشد. $$3x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$ $$\mathbf{x = \frac{2k\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})}$$ *** ### ب) $\cos^2 x - \cos x + 1 = 0$ از تغییر متغیر $u = \cos x$ استفاده می‌کنیم. $u^2 - u + 1 = 0$. معادله درجه دوم را با دلتا ($\Delta$) حل می‌کنیم: $$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3$$ چون $\Delta < 0$ است، این معادله درجه دوم جوابی در اعداد حقیقی ندارد. در نتیجه معادله مثلثاتی جوابی ندارد. $$\mathbf{\text{معادله جواب ندارد.}}$$ *** ### پ) $\cos x = \cos 2x$ جواب‌های معادله $\cos x = \cos \alpha$ به صورت $x = 2k\pi \pm \alpha$ هستند. اینجا $\alpha = 2x$. $$x = 2k\pi \pm 2x \quad (k \in \mathbb{Z})$$ 1. **حالت مثبت:** $x = 2k\pi + 2x \implies -x = 2k\pi \implies x = -2k\pi$. (یا به طور خلاصه $x = 2k\pi$) 2. **حالت منفی:** $x = 2k\pi - 2x \implies 3x = 2k\pi \implies x = \frac{2k\pi}{3}$ $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = 2k\pi \quad \text{و} \quad x = \frac{2k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})}$$ *** ### ت) $\cos 2x - 3\sin x + 1 = 0$ از فرمول $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ استفاده می‌کنیم تا معادله را بر حسب $\sin x$ بنویسیم: $$(1 - 2\sin^2 x) - 3\sin x + 1 = 0$$ $$-2\sin^2 x - 3\sin x + 2 = 0$$ $$2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$$ با تغییر متغیر $u = \sin x$، $2u^2 + 3u - 2 = 0$. $$\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25$$ $$u = \frac{-3 \pm 5}{4} \implies u_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{و} \quad u_2 = \frac{-8}{4} = -2$$ 1. **حالت اول:** $\sin x = \frac{1}{2}$. $\alpha = \frac{\pi}{6}$. $$\mathbf{x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}}$$ 2. **حالت دوم:** $\sin x = -2$. (جواب ندارد، چون $-2 \not\in [-1, 1]$) $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})}$$ *** ### ث) $\cos^2 x - \sin x = \frac{1}{4}$ از اتحاد $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ استفاده می‌کنیم: $$(1 - \sin^2 x) - \sin x = \frac{1}{4}$$ $$\sin^2 x + \sin x - 1 + \frac{1}{4} = 0$$ $$\sin^2 x + \sin x - \frac{3}{4} = 0$$ با ضرب در $4$: $4\sin^2 x + 4\sin x - 3 = 0$. با $u = \sin x$، $4u^2 + 4u - 3 = 0$. $$\Delta = 4^2 - 4(4)(-3) = 16 + 48 = 64$$ $$u = \frac{-4 \pm 8}{8} \implies u_1 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \quad \text{و} \quad u_2 = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$$ 1. **حالت اول:** $\sin x = \frac{1}{2}$. $\alpha = \frac{\pi}{6}$. $$\mathbf{x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}}$$ 2. **حالت دوم:** $\sin x = -\frac{3}{2}$. (جواب ندارد) $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \quad (k \in \mathbb{Z})}$$ *** ### ج) $\sin x - \cos 2x = 0$ از فرمول $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ استفاده می‌کنیم: $$\sin x - (1 - 2\sin^2 x) = 0$$ $$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$ با $u = \sin x$، $2u^2 + u - 1 = 0$. $$\Delta = 1^2 - 4(2)(-1) = 9$$ $$u = \frac{-1 \pm 3}{4} \implies u_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{و} \quad u_2 = \frac{-4}{4} = -1$$ 1. **حالت اول:** $\sin x = \frac{1}{2}$. $\alpha = \frac{\pi}{6}$. $$\mathbf{x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad \text{و} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6}}$$ 2. **حالت دوم:** $\sin x = -1$. (تک جواب) $$\mathbf{x = 2k\pi + \frac{3\pi}{2}}$$ $$\mathbf{\text{جواب‌ها: } x = 2k\pi + \frac{\pi}{6} \quad , \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{6} \quad , \quad x = 2k\pi + \frac{3\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})}$$

حل تمرین 4 صفحه 48 ریاضی دوازدهم برای محاسبه مساحت مثلث ($S$) با داشتن دو ضلع ($a$ و $b$) و زاویه بین آن‌ها ($\theta$)، از فرمول زیر استفاده می‌شود: $$S = \frac{1}{2} a b \sin \theta$$ در اینجا مقادیر $S=3$، $a=2$، و $b=6$ داده شده است. با جایگذاری در فرمول، می‌توانیم زاویه بین دو ضلع را به دست آوریم: $$3 = \frac{1}{2} (2) (6) \sin \theta$$ $$3 = 6 \sin \theta$$ $$\sin \theta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ معادله مثلثاتی $\sin \theta = \frac{1}{2}$ دارای دو جواب اصلی در بازه $(0, \pi)$ (زوایای داخلی مثلث) است: 1. **حالت اول:** زاویه حاده: $\mathbf{\theta_1 = \frac{\pi}{6}}$ (یا $30^\circ$) 2. **حالت دوم:** زاویه منفرجه: $\mathbf{\theta_2 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}}$ (یا $150^\circ$) چون دو زاویه مختلف برای $\theta$ وجود دارد که مساحت مثلث را حفظ می‌کند، می‌توان **دو مثلث** با این خصوصیات ساخت (یکی با زاویه بین دو ضلع $30^\circ$ و دیگری با زاویه $150^\circ$). $$\mathbf{\text{نتیجه: دو مثلث می‌توان ساخت.}}$$